Las dos formas expresan necesidad, pero "hay que" sirve para una regla para todos y "tener que" sirve para decir quién necesita hacer algo.

hay que + infinitivo

hay que + infinitivo (regla general, para todos) · Úsalo cuando la regla vale para todos: "Hay que separar el papel."

tengo que + infinitivo

tengo que + infinitivo (tarea mía) · Úsalo cuando hablas de tu propia tarea: "Yo tengo que escribir la nota."

tienes que + infinitivo

tienes que + infinitivo (tarea de tú) · Úsalo para hablar de la tarea de otra persona que tuteas: "Tienes que llevar las botellas."

tiene que + infinitivo

tiene que + infinitivo (tarea de una persona) · Úsalo para decir la tarea de una persona concreta: "Ana tiene que escribir la nota."

Incorrecto: Ana hay que escribir la nota.

Correcto: Ana tiene que escribir la nota.

No uses "hay que" para decir quién hace la tarea. Si hablas de una persona concreta, usa "tener que" con la forma correcta.